امنه عبداللطيف محمدصلاح جمجوم

الباب الأول

New Page 1

الباب الأول

مقدمة في الاحتمالات

مثال ( 1 )

ألقاء النقود مرة واحدة . أن النتائج الممكنة لهذه التجربة هي صورة وكتابة فإذا رمزنا للصورة بالرمز H وللكتابة بالرمز T فان مجموعة النتائج أي فراغ العينة لهذه التجربة هو

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مثال ( 2 )

ألقاء قطعتا نقود مرة واحدة . فراغ العينة لهذه التجربة هو .

وكل زوج مرتب من هذه المجموعة يمثل أحد نواتج هذه التجربة . فمثلا الزوج يمثل ظهور الصورة على الوجه الأعلى للقطعتين

يلاحظ أنه يمكن للتجربة العشوائية أكثر من فراغ عينه وذلك يعتمد على الطريقة التي ننظر بها إلى النتائج . فمثلا في المثال السابق إذا كانت النتائج التي تهمنا هي عدد الصور التي على السطح العلوي فان فراغ العينة للتجربة يكون .

مثال ( 3 )

إذا ألقيت زهرة نرد مرة واحدة فان فراغ العينة لهذه التجربة هو

وكل عنصر من هذه المجموعة يمثل احد النواتج الممكنة لتجربة إلقاء زهرة النرد .

مثال ( 4 )

إذا ألقيت زهرتا نرد مرة واحدة . فغن فراغ العينة S هو مجموعة الأزواج المرتبة التالية :-

وكل زوج مرتب من هذه المجموعة يمثل أحد نواتج هذه التجربة . فمثلا العنصر يمثل ظهور العدد 3 على الزهرة الأولى والعدد 4 على الزهرة الثانية .

مثال ( 5 )

ألقيت قطعة نقود حتى تظهر الصورة . فما الفراغ الذي يمثل عدد المرات إلقاء قطعة النقود ؟

الحل :-

واضح أن علما بأن العنصر 3 يشير إلى أن الصورة لم تظهر في الرمية الأولى والثانية ولكنها ظهرت في الرمية الثالثة كما أن تشير إلى عدم ظهور الصورة وأن قطعة النقود قد ألقيت عدد كبير جدا من المرات .

مثال ( 6 )

اختيار نقطة داخل دائرة

فراغ العينة S لهذه التجربة يتكون من جميع النقاط داخل الدائرة . وعدد النقط الدائرة غير محدد وعلى ذلك فهذا فراغ غير منتهى لا نهائي . يمكن كتابة S على الصورة .

حيث أن X الاحداث السينى للنقطة

Y الاحداث الصادى للنقطة

a نصف قطر الدائرة .

مثال ( 7 )

اختيار مصباح كهربائي من إنتاج احد المصانع لمعرفة عمره . فراغ العينة هو :

حيث أن X أي عدد حقيقي . إذا S فراغ لا نهائي .

مثال ( 8 )

إلقاء قطعتا نقود مرة واحدة . نعلم أن فراغ العينة هو

والآن نأخذ بعض المجموعات الجزئية من هذا الفراغ . ونعبر عنها لفظيا :-

هذه حادثة بسيطة تمثل ظهور صورتان لأعلى .

حادثة ظهور وجهان متشابهان . حادثة ظهور صورة واحدة على الأقل .

مثال ( 9 )

إلقاء زهرة نرد مرة واحدة . فراغ العينة هو

فيما يلي بعض المجموعات الجزئية التي تمثل حوادث

حادثة بسيطة تمثل ظهور العدد 3 أعلا .

حادثة ظهور عدد زوجي .

حادثة ظهور عدد فردي .

حادثة ظهور عدد أكبر من 4 .

S حادثة مؤكدة وهي حادثة ظهور عدد على الوجه العلوي .

حادثة مستحيلة كأن نقول مثلا حادثة ظهور العدد 7 أو ظهور عدد أكبر من 6 .

مثال ( 10 )

ألقيت زهرتي نرد مرة واحدة . عرف الحوادث الآتية :-

مجموع النقط على وجه الزهرتين ثمانية

النقط على الوجهين متساوية .

عدد النقط على وجه الزهرة الأولى زوجي وعلى الثانية خمسة .

الحل:-

فراغ العينة S كما في المثال رقم ( 4 ) والآن

مثال ( 11 )

إذا ألقيت قطعة نقود مرة واحدة فان فراغ العينة هو

وفراغ الحوادث

حيث الحادثةالمستحيلة

حادثة أولية وترمز لظهور الصورة .

حادثة أولية وترمز لظهور الكتابة .

S حادثة مؤكدة وترمز لظهور وجه من أوجه قطعة النقود .

مثال ( 12 )

فراغ عينة مكون من ثلاث عناصر a, b, c فما فراغ الحوادث

الحل :-

إذا كان فراغ العينة

فإن فراغ الحوادث هو

مثال ( 13 )

إذا كانت التجربة العشوائية هي إلقاء قطعتي نقود مرة فان فراغ العينة هو .

وفي هذه الحالة يكون فراغ الحوادث هو

من الأمثلة السابقة نلاحظ أنه إذا كان فراغ العينة S يحتوي على n عنصر فان فراغ الحوادث يحتوي على حادثة .

مثال ( 14 )

إذا ألقيت زهرة نرد مرة واحدة فان :-

وأن

هي حادثة ظهور عدد زوجي .

هي حادثة ظهور عدد فردي .

هي حادثة ظهور عدد أكبر من 4 .

هي حادثة ظهور عدد يقبل القسمة على 3 .

والآن نكون الحوادث الآتية :

حادثة ظهور عدد لا يقبل القسمة على 3 .

حادثة ظهور عدد زوجي يقبل القسمة على 3 .

حادثة ظهور عدد فردي أكبر من 4 .

حادثة ظهور عدد فردي أو عدد أكبر من 4 .

حادثة ظهور عدد فردي أو عدد زوجي .

مثال ( 15 )

في المثال السابق حادثتان مانعتان لأن ظهور عدد زوجي يمنع ظهور عدد فردي .

مثال ( 16 )

ألقيت زهرة نرد مره واحده , فما احتمال ظهور عدد زوجي ؟

الحل :-

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها الوجه العلوي 6 = n

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على الوجه العلوي عددا زوجيا 3 = m وهي أن يكون الوجه 2 أو 4 أو 6 .

فاذا كانت A هي حادثة ظهور عدد زوجي فان :

مثال ( 17 )

ألقيت قطعة نقود مره واحده . فما احتمال ظهور الصوره على السطح العلوي ؟

الحل :-

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها السطح العلوي 2 = n

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على السطح العلوي صوره 1 = m

فاذا كانت A حادثة ظهور صوره على الوجه العلوي , فإن :

مثال ( 18 )

ألقيت زهرة نرد مرة واحده , فما هو احتمال أن يكون السطح العلوي لها

( i ) أقل من 3 , ( ii ) 4 فأكثر .

الحل :-

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها السطح العلوي 6 = n

( i ) عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على السطح العلوي رقم أقل من 3 هي 2 = m

( وهي ظهور الوجه 1 أو الوجه 2 )

نفرض أن A ظهور عدد أقل من 3

( ii ) عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على السطح العلوي 4 فأكثر 3 = m

بفرض أن B هي الحصول على 4 فأكثر فان .

مثال ( 19 )

إذا ألقيت قطعة من النقود n مره وظهرت الصوره m مره فان نسبة ظهور الصورة = , هذه النسبة ليس من الضروري أن تساوي ولكن عندما يزداد عدد مرات القاء هذه القطعة نجد أن النسبة تقترب من فيكون احتمال الصورة هو

وقد أجري بالفعل احد الأشخاص هذه التجربة وحصل على النتائج الآتية :-

عدد مرات إلقاء قطعة النقود

عدد مرات ظهور الصوره

التكرار النسبي

4000

8000

12000

24000

55000

100000

2032

4029

6030

12034

25030

50011

0.5080

0.5036

0.5025

0.5014

0.5006

0.5001

وفي هذا المثال نلاحظ أن التكرار النسبي يكتسب بعض الانتظام الإحصائي ويستقر حول القيمة الثابتة .

مثال ( 20 )

أجري الطبيب 500 عملية جراحية نجح منها 480 عملية . فما احتمال نجاح العملية .

الحل :-

عدد مرات إجراء العملية n = 500

عدد مرات نجاح العملية m = 480

بفرض أن A ترمز لنجاح العملية

مثال ( 21 )

في مصنع لقطع غيار السيارات تبين أن كل 4000 قطعة غيار منتجه يكون من بينها 400 قطعة غير صالحة للاستعمال . فما احتمال أن تكون أي قطعة غيار تالفة ؟

الحل :-

عدد قطع الغيار المنتجة n = 4000 قطعة

عدد قطه الغيار التالف m = 400 قطعة

A قطعة غيار تالفه

مثال ( 22 )

في مصنع للمصابيح الكهربائية تبين أن من بين كل 1000 مصباح يوجد 50 مصباح غير صالح للاستعمال . فما احتمال وجود مصباح جيد .

الحل :-

عدد المصابيح n = 1000 مصباح

عدد المصابيح الجيدة m = 950 مصباح

A المصباح جيد .

مثال ( 23 )

إذا كان لدينا الفراغ الاحتمالي الآتي :-

فكل من الفراغات الآتية يعتبر فراغ احتمالي

أما الفراغات الآتية فلا تعتبر فراغ احتمالي

مثال ( 24 )

إذا ألقيت قطعة نقود مره واحده فان فراغ العينه هو :

عناصر هذا الفراغ هي T,H واحتمالات هذه العناصر قد تكون أي قيمتين غير سالبتين ومجموعهما واحد صحيح . أي أن جميع الحالات الآتية ممكنه ومقبولة لأن تكون احتمالات لعناصر هذا الفراغ .

( і ) = =

( іі ) = =

( ііі ) = =

( ( іv 0 = 1 =

من هذا المثال يتضح أن هناك سؤال مهم وهو كيف نختار من بين الحالات الممكنة والمقبولة الفراغ الاحتمالي الذي يتناسب مع المسألة المعطاة . وللاجابه على هذا السؤال نقول أن احتمالات العناصر تحددها ظروف المسألة المعطاة كما سيتضح من الأمثلة الآتية .

مثال ( 25 )

قطعة نقود مصممه بحيث أن فرصة ظهور الصوره ضعف فرصة ظهور الكتابه . ألقيت مره واحده . اكتب فراغ العينة وأوجد الفراغ الاحتمالي المرافق .

الحل :-

نفرض أن كتابه = T و صورة = H

فراغ العينة هو

نفرض أن a =

ولكن 1 = a +

a = ⅓

الفراغ الاحتمالي المرافق للفراغ S هو

كما نلاحظ فإن احتمالات العناصر قد حددتها ظروف المسألة .

مثال ( 26 )

زهرة نرد مثقلة بحيث أن فرصة ظهور أي عدد تتناسب مع هذا العدد . ألقيت هذه القطعة مرة واحده . المطلوب إيجاد .

( і ) الفراغ الاحتمالي

( іі ) احتمال ظهور عدد زوجي

( ііі ) احتمال ظهور عدد اكبر من 4 .

الحل :-

فراغ العينة هو

بما أن فرصة ظهور أي عدد تتناسب مع هذا العدد وبفرض أن x هو ثابت التناسب فان

بجمع هذه الاحتمالات ينتج أن

21x = 1

x =

( і ) ويكون الفراغ الاحتمالي المطلوب هو

( іі ) نفرض أن A = حادثة ظهور عدد زوجي

( ііі ) نفرض أن B حادثة ظهور عدد اكبر من 4 .

مثال ( 27 )

ألقيت زهرة ترد مره واحده . فما احتمال ظهور عدد زوجى ؟

الحل :-

إذا كانت زهرة النرد متماثله من حيث الابعاد والكثافه فانه من المعقول أن نفترض تساوى احتمال ظهور أي وجه . وعلى ذلك فان

فإذا كانت A = ظهور عدد زوجي فان

عدد عناصر A عدد عناصر S 6 =

وعلى ذلك فإن

وفي الوقت نفسه فان

مثال ( 28 )

في المثال السابق احسب احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على 2 أو 3 ؟

الحل :-

نفرض أن

S = فراغ العينة

A = العدد يقبل القسمة على 2

B = العدد يقبل القسمة على 3 .

= العدد يقبل القسمة على 2 أو 3 .

مثال ( 29 )

ألقيت زهرتا نرد مره واحده . فما احتمال الحصول على مجموع قدره 9 .

الحل :-

إذا كانت S فراغ العينه فإننا نعلم أن 36 =

نفرض أن A = ظهور مجموع قدره 9 .

وحيث أنه يمكن اعتبار كل زهرة متماثلة تماما من حيث الأبعاد والكثافة . فانه من المعقول أن نفرض تساوى احتمال ظهور أي وجهين إلى أعلا . أي أن تجربة ألقاء زهرتي النرد لها نتائج متساوية الاحتمال وعلى ذلك فان

مثال ( 30 )

في المثال السابق احسب احتمال الحصول على مجموع قدره 4 أو 9 .

الحل :-

في المثال السابق نعلم أن

نفرض أن B = ظهور مجموع قدره 4 .

ظهور مجموع قدره 9 أو 4 .

مثال ( 31 )

صندوق به 7 كرات بيضاء , 5 كرات حمراء . سحبت منه عشوائيا كره واحد . فما احتمال أن تكون حمراء .

الحل :-

السحب العشوائي هو عبارة عن طريقه للسحب تضمن نفس الفرصة في الاختيار لأي من الكرات في الصندوق .

نفرض أن الكرات البيضاء مرقمه من واحد إلى سبعه وأن الكرات الحمراء مرقمه من ثمانية إلى اثنى عشر .

فراغ العينه هو

= عدد عناصر S = عدد الطرق التي يمكن بها اختيار كره من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها اختيار واحد من اثنى عشر

نفرض أن A = الكره المسحوبة حمراء

= عدد عناصر A = عدد الطرق التي يمكن بها اختيار كره حمراء من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها اختيار واحد من بين خمسه

مثال ( 32 )

في المثال السابق إذا سحبت عشوائيا ثلاث كرات من الصندوق فما احتمال أن تكون جميعها حمراء .

الحل :-

نفرض أن A = الكرات المسحوبة من الصندوق حمراء

= عدد الطرق التي يمكن بها سحب ثلاث كرات من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها ثلاثة من بين اثنى عشر

= عدد عناصر A = عدد الطرق التي يمكن بها سحب ثلاث كرات حمراء من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها سحب ثلاثة من بين خمسه .

نلاحظ أنه ليس من السهل حصر عناصر الفراغ S وكذلك عناصر الحادثة A . على أي حال في حالة الفراغات المتساوية الاحتمال نجد أن المشكلة تنحصر في معرفة عدد عناصر الفراغ S وعدد عناصر الحوادث المعنية . وفي الأمثلة السابقة كان من السهل حصر عناصر الفراغ S وحصر عناصر الحوادث المعنية . ولكن في كثير من المسائل ( كما في هذا المثال ) تكون عملية الحصر عمليه صعبة جدا وأحيانا مستحيلة . وعليه لا بد من إيجاد طريقه نستطيع بها معرفة عدد العناصر .

مثال ( 33 )

إلقاء قطعة النقود حتى تظهر الصوره

الحل :-

الفراغ S الذي يمثل عدد مرات إلقاء قطعة النقود هو

سنجد أن

كما أن

الفراغ الاحتمالي المرافق لفراغ العينه هو

نلاحظ أنه بجمع احتمالات العناصر نحصل على

وذلك لأن مجموع المتوالية الهندسية اللانهائية

هو

بشرط 1 < r

كما أن مجموع المتوالية الهندسية

هو

( مثال 34 )

اختيرت نقطه داخل دائره . احسب احتمال أن تكون هذه النقطه اقرب إلى مركز الدائره من محيطها .

الحل :-

نفرض دائرة نصف قطرها = r .

مجموعة النقاط داخل الدائره التي نصف قطرها r . s

نرسم دائرة نصف قطرها ولها نفس مركز S ولتكن A .

أي نقطه داخل الدائرة A تكون اقرب إلى المركز من محيط الدائرة S .

وعلى ذلك فان الاحتمال المطلوب هو

مثال ( 35 )

AB مستقيم منتصفه 0 . اختيرت نقطه C عشوائيا على هذا المستقيم أوجد احتمال أن المستقيمات BC , AC , OA تكون مثلث .

الحل :-

نفرض أن طول المستقيم = L وهو فراغ العينه S

<![endif]>L - X<![endif]-->

نختار نقطة C على المستقيم ونفرض أن = x وعلى ذلك فان

لكي تكون الثلاث مستقيمات , , مثلثا يجب أن يكون مجموع أطوال أي أثنين منها أكبر من طول الضلع الثالث . أي أن :-

وهذا بديهي أي أن

الحالات الممكنة لاختيار النقطة C حتى تكون الثلاث المستقيمات مثلثا هي الحالات التي فيها x تحقق الشروط

والاحتمال المطلوب هو نسبة الطول الذي يحقق الشرط إلى الطول الكلى

مثال ( 36 )

اختيرت عشوائيا نقطتان على خط مستقيم . احسب احتمال أن تكون الثلاث أجزاء مثلثا .

الحل :-

نفرض مستقيم طوله واحد ونختار عليه نقطتان على بعد x,y كما هو مبين في الشكل

كما في المثال السابق حتى تكون الثلاث أجزاء مثلث فإن :

لكي تكون الثلاث أجزاء مثلثا يجب تحقيق الشروط الآتية :

والشكل الاتى يبين المنطقة في المستوى التي تحقق هذه الشروط .

فراغ العينة S يتكون من نقاط المربع

) OABC ) المثلث A يحقق الشروط السابقة

<![endif]-->

S 1c

الاحتمال المطلوب هو

تمارين

السؤال الأول :

فراغ عينه مكون من الأعداد واحد إلى عشرة . وكانت

أوجد عناصر الحوادث الآتية :

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

السؤال الثاني :

إذا كان فراغ العينة مكون من جميع النقاط ( x,y ) والتي احداثيها يتكونان من جميع الأعداد الصحيحة الواقعة داخل وعلى محيط المربع المحدد بالمستقيمات :

حدد عناصر الحوادث الآتية :

السؤال الثالث :

صندوق به 5 مصابيح منها 2 تالفة . تم اختبار هذه المصابيح واحد بعد الآخر حتى وجد أول مصباح تالف . صف فراع العينه لهذه التجربة .

السؤال الرابع :

في التمرين السابق تم اختبار المصابيح حتى وجدت جميع المصابيح التالفة صف فراغ العينه .

السؤال الخامس :

صندوق يحتوي على سلعتين على الأقل من كل من السلع التي أوازانها ( 5,10,15,…,50) جرام . اختبرت عشوائيا سلعتان من الصندوق . فإذا كانت x وزن السلعة الأولى , y وزن السلعة الثانية . أوجد فراغ العينة وعناصر الحوادث الاتيه :

( iii ) وزن السلعة الثانية ضعف السلعة الأولى

( iv ) وزن السعلة الأولى أقل 10 جرام من وزن السلعة الثانية

( v ) متوسط وزن السلعتين أقل من 30 جرام .

السؤال السادس :

تم اختبار 4 سلع وعرفنا الحوادث

A واحدة على الأقل من الأربع سلع تالفه

B الأربع سلع جيدة

C سلعتان تالفه

فسر الحوادث الآتية :

السؤال السابع :

قطعة نقود متحيزه بحيث أن فرصة ظهور الصوره ثلاثة أمثال فرصة الكتابه , ألقيت ثلاث مرات والمطلوب ( i ) أكتب فراغ العينة

( ii ) أوجد الفراغ الاحتمالي المرافق لفراغ العينه

( iii ) احسب احتمال الحصول على صورتان على الأكثر

( iv ) احسب احتمال الحصول على صورتان على الأقل .

السؤال الثامن :

زهرة نرد مثقله بحيث أن فرصة ظهور أي عدد تتناسب مع هذا العدد , ألقيت مرتان , أحسب احتمال الحصول على مجموع قدره

( i ) أربعة ( ii ) تسعة ( iii ) أربعة أو تسعه

السؤال التاسع :

ألقيت قطعة نقود خمس مرات . فما احتمال الحصول على الأقل على ثلاث صور متتالية

السؤال العاشر :

فاحسب قيمة الاحتمالات

السؤال الحادي عشر :

إذا كانت A,B حادثتين مانعتين وكانت 0.45 = (B)P و 0.3 = (A)P احسب الاحتمالات

السؤال الثاني عشر :

السؤال الثالث عشر :

اختيرت عشوائيا نقطتان A,B على الفترة ( 0.1 ) فما احتمال أن تكون A أقرب إلى 0 منها إلى B .

السؤال الرابع عشر :

اختيرت عشوائيا نقطتان x,y على المستقيم AB فما احتمال أن تكون المسافة من y إلى x على الأقل ضعف المسافة من A إلى x .

الباب الأول

مقدمة في الاحتمالات

مثال ( 1 )

مثال ( 2 )

ألقاء قطعتا نقود مرة واحدة . فراغ العينة لهذه التجربة هو .

مثال ( 3 )

إذا ألقيت زهرة نرد مرة واحدة فان فراغ العينة لهذه التجربة هو

وكل عنصر من هذه المجموعة يمثل احد النواتج الممكنة لتجربة إلقاء زهرة النرد .

مثال ( 4 )

إذا ألقيت زهرتا نرد مرة واحدة . فغن فراغ العينة S هو مجموعة الأزواج المرتبة التالية :-

مثال ( 5 )

ألقيت قطعة نقود حتى تظهر الصورة . فما الفراغ الذي يمثل عدد المرات إلقاء قطعة النقود ؟

الحل :-

مثال ( 6 )

اختيار نقطة داخل دائرة

حيث أن X الاحداث السينى للنقطة

Y الاحداث الصادى للنقطة

a نصف قطر الدائرة .

مثال ( 7 )

اختيار مصباح كهربائي من إنتاج احد المصانع لمعرفة عمره . فراغ العينة هو :

حيث أن X أي عدد حقيقي . إذا S فراغ لا نهائي .

مثال ( 8 )

إلقاء قطعتا نقود مرة واحدة . نعلم أن فراغ العينة هو

والآن نأخذ بعض المجموعات الجزئية من هذا الفراغ . ونعبر عنها لفظيا :-

هذه حادثة بسيطة تمثل ظهور صورتان لأعلى .

حادثة ظهور وجهان متشابهان . حادثة ظهور صورة واحدة على الأقل .

مثال ( 9 )

إلقاء زهرة نرد مرة واحدة . فراغ العينة هو

فيما يلي بعض المجموعات الجزئية التي تمثل حوادث

حادثة بسيطة تمثل ظهور العدد 3 أعلا .

حادثة ظهور عدد زوجي .

حادثة ظهور عدد فردي .

حادثة ظهور عدد أكبر من 4 .

S حادثة مؤكدة وهي حادثة ظهور عدد على الوجه العلوي .

حادثة مستحيلة كأن نقول مثلا حادثة ظهور العدد 7 أو ظهور عدد أكبر من 6 .

مثال ( 10 )

ألقيت زهرتي نرد مرة واحدة . عرف الحوادث الآتية :-

مجموع النقط على وجه الزهرتين ثمانية

النقط على الوجهين متساوية .

عدد النقط على وجه الزهرة الأولى زوجي وعلى الثانية خمسة .

الحل:-

فراغ العينة S كما في المثال رقم ( 4 ) والآن

مثال ( 11 )

إذا ألقيت قطعة نقود مرة واحدة فان فراغ العينة هو

وفراغ الحوادث

حيث الحادثةالمستحيلة

حادثة أولية وترمز لظهور الصورة .

حادثة أولية وترمز لظهور الكتابة .

S حادثة مؤكدة وترمز لظهور وجه من أوجه قطعة النقود .

مثال ( 12 )

فراغ عينة مكون من ثلاث عناصر a, b, c فما فراغ الحوادث

الحل :-

إذا كان فراغ العينة

فإن فراغ الحوادث هو

مثال ( 13 )

إذا كانت التجربة العشوائية هي إلقاء قطعتي نقود مرة فان فراغ العينة هو .

وفي هذه الحالة يكون فراغ الحوادث هو

من الأمثلة السابقة نلاحظ أنه إذا كان فراغ العينة S يحتوي على n عنصر فان فراغ الحوادث يحتوي على حادثة .

مثال ( 14 )

إذا ألقيت زهرة نرد مرة واحدة فان :-

وأن

هي حادثة ظهور عدد زوجي .

هي حادثة ظهور عدد فردي .

هي حادثة ظهور عدد أكبر من 4 .

هي حادثة ظهور عدد يقبل القسمة على 3 .

والآن نكون الحوادث الآتية :

حادثة ظهور عدد لا يقبل القسمة على 3 .

حادثة ظهور عدد زوجي يقبل القسمة على 3 .

حادثة ظهور عدد فردي أكبر من 4 .

حادثة ظهور عدد فردي أو عدد أكبر من 4 .

حادثة ظهور عدد فردي أو عدد زوجي .

مثال ( 15 )

في المثال السابق حادثتان مانعتان لأن ظهور عدد زوجي يمنع ظهور عدد فردي .

مثال ( 16 )

ألقيت زهرة نرد مره واحده , فما احتمال ظهور عدد زوجي ؟

الحل :-

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها الوجه العلوي 6 = n

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على الوجه العلوي عددا زوجيا 3 = m وهي أن يكون الوجه 2 أو 4 أو 6 .

فاذا كانت A هي حادثة ظهور عدد زوجي فان :

مثال ( 17 )

ألقيت قطعة نقود مره واحده . فما احتمال ظهور الصوره على السطح العلوي ؟

الحل :-

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها السطح العلوي 2 = n

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على السطح العلوي صوره 1 = m

فاذا كانت A حادثة ظهور صوره على الوجه العلوي , فإن :

مثال ( 18 )

ألقيت زهرة نرد مرة واحده , فما هو احتمال أن يكون السطح العلوي لها

( i ) أقل من 3 , ( ii ) 4 فأكثر .

الحل :-

عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها السطح العلوي 6 = n

( i ) عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على السطح العلوي رقم أقل من 3 هي 2 = m

( وهي ظهور الوجه 1 أو الوجه 2 )

نفرض أن A ظهور عدد أقل من 3

( ii ) عدد الطرق التي يمكن أن يظهر بها على السطح العلوي 4 فأكثر 3 = m

بفرض أن B هي الحصول على 4 فأكثر فان .

مثال ( 19 )

وقد أجري بالفعل احد الأشخاص هذه التجربة وحصل على النتائج الآتية :-

عدد مرات إلقاء قطعة النقود

عدد مرات ظهور الصوره

التكرار النسبي

4000

8000

12000

24000

55000

100000

2032

4029

6030

12034

25030

50011

0.5080

0.5036

0.5025

0.5014

0.5006

0.5001

وفي هذا المثال نلاحظ أن التكرار النسبي يكتسب بعض الانتظام الإحصائي ويستقر حول القيمة الثابتة .

مثال ( 20 )

أجري الطبيب 500 عملية جراحية نجح منها 480 عملية . فما احتمال نجاح العملية .

الحل :-

عدد مرات إجراء العملية n = 500

عدد مرات نجاح العملية m = 480

بفرض أن A ترمز لنجاح العملية

مثال ( 21 )

الحل :-

عدد قطع الغيار المنتجة n = 4000 قطعة

عدد قطه الغيار التالف m = 400 قطعة

A قطعة غيار تالفه

مثال ( 22 )

الحل :-

عدد المصابيح n = 1000 مصباح

عدد المصابيح الجيدة m = 950 مصباح

A المصباح جيد .

مثال ( 23 )

إذا كان لدينا الفراغ الاحتمالي الآتي :-

فكل من الفراغات الآتية يعتبر فراغ احتمالي

أما الفراغات الآتية فلا تعتبر فراغ احتمالي

مثال ( 24 )

إذا ألقيت قطعة نقود مره واحده فان فراغ العينه هو :

( і ) = =

( іі ) = =

( ііі ) = =

( ( іv 0 = 1 =

مثال ( 25 )

الحل :-

نفرض أن كتابه = T و صورة = H

فراغ العينة هو

نفرض أن a =

ولكن 1 = a +

a = ⅓

الفراغ الاحتمالي المرافق للفراغ S هو

كما نلاحظ فإن احتمالات العناصر قد حددتها ظروف المسألة .

مثال ( 26 )

زهرة نرد مثقلة بحيث أن فرصة ظهور أي عدد تتناسب مع هذا العدد . ألقيت هذه القطعة مرة واحده . المطلوب إيجاد .

( і ) الفراغ الاحتمالي

( іі ) احتمال ظهور عدد زوجي

( ііі ) احتمال ظهور عدد اكبر من 4 .

الحل :-

فراغ العينة هو

بما أن فرصة ظهور أي عدد تتناسب مع هذا العدد وبفرض أن x هو ثابت التناسب فان

بجمع هذه الاحتمالات ينتج أن

21x = 1

x =

( і ) ويكون الفراغ الاحتمالي المطلوب هو

( іі ) نفرض أن A = حادثة ظهور عدد زوجي

( ііі ) نفرض أن B حادثة ظهور عدد اكبر من 4 .

مثال ( 27 )

ألقيت زهرة ترد مره واحده . فما احتمال ظهور عدد زوجى ؟

الحل :-

فإذا كانت A = ظهور عدد زوجي فان

عدد عناصر A عدد عناصر S 6 =

وعلى ذلك فإن

وفي الوقت نفسه فان

مثال ( 28 )

في المثال السابق احسب احتمال ظهور عدد يقبل القسمة على 2 أو 3 ؟

الحل :-

نفرض أن

S = فراغ العينة

A = العدد يقبل القسمة على 2

B = العدد يقبل القسمة على 3 .

= العدد يقبل القسمة على 2 أو 3 .

مثال ( 29 )

ألقيت زهرتا نرد مره واحده . فما احتمال الحصول على مجموع قدره 9 .

الحل :-

إذا كانت S فراغ العينه فإننا نعلم أن 36 =

نفرض أن A = ظهور مجموع قدره 9 .

مثال ( 30 )

في المثال السابق احسب احتمال الحصول على مجموع قدره 4 أو 9 .

الحل :-

في المثال السابق نعلم أن

نفرض أن B = ظهور مجموع قدره 4 .

ظهور مجموع قدره 9 أو 4 .

مثال ( 31 )

صندوق به 7 كرات بيضاء , 5 كرات حمراء . سحبت منه عشوائيا كره واحد . فما احتمال أن تكون حمراء .

الحل :-

السحب العشوائي هو عبارة عن طريقه للسحب تضمن نفس الفرصة في الاختيار لأي من الكرات في الصندوق .

نفرض أن الكرات البيضاء مرقمه من واحد إلى سبعه وأن الكرات الحمراء مرقمه من ثمانية إلى اثنى عشر .

فراغ العينه هو

= عدد عناصر S = عدد الطرق التي يمكن بها اختيار كره من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها اختيار واحد من اثنى عشر

نفرض أن A = الكره المسحوبة حمراء

= عدد عناصر A = عدد الطرق التي يمكن بها اختيار كره حمراء من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها اختيار واحد من بين خمسه

مثال ( 32 )

في المثال السابق إذا سحبت عشوائيا ثلاث كرات من الصندوق فما احتمال أن تكون جميعها حمراء .

الحل :-

نفرض أن A = الكرات المسحوبة من الصندوق حمراء

= عدد الطرق التي يمكن بها سحب ثلاث كرات من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها ثلاثة من بين اثنى عشر

= عدد عناصر A = عدد الطرق التي يمكن بها سحب ثلاث كرات حمراء من الصندوق

= عدد الطرق التي يمكن بها سحب ثلاثة من بين خمسه .

مثال ( 33 )

إلقاء قطعة النقود حتى تظهر الصوره

الحل :-

الفراغ S الذي يمثل عدد مرات إلقاء قطعة النقود هو

سنجد أن

كما أن

الفراغ الاحتمالي المرافق لفراغ العينه هو

نلاحظ أنه بجمع احتمالات العناصر نحصل على

وذلك لأن مجموع المتوالية الهندسية اللانهائية

هو

بشرط 1 < r

كما أن مجموع المتوالية الهندسية

هو

( مثال 34 )

اختيرت نقطه داخل دائره . احسب احتمال أن تكون هذه النقطه اقرب إلى مركز الدائره من محيطها .

الحل :-

نفرض دائرة نصف قطرها = r .

مجموعة النقاط داخل الدائره التي نصف قطرها r . s

نرسم دائرة نصف قطرها ولها نفس مركز S ولتكن A .

أي نقطه داخل الدائرة A تكون اقرب إلى المركز من محيط الدائرة S .

وعلى ذلك فان الاحتمال المطلوب هو

مثال ( 35 )

AB مستقيم منتصفه 0 . اختيرت نقطه C عشوائيا على هذا المستقيم أوجد احتمال أن المستقيمات BC , AC , OA تكون مثلث .

الحل :-

نفرض أن طول المستقيم = L وهو فراغ العينه S

<![endif]>L - X<![endif]-->

نختار نقطة C على المستقيم ونفرض أن = x وعلى ذلك فان

لكي تكون الثلاث مستقيمات , , مثلثا يجب أن يكون مجموع أطوال أي أثنين منها أكبر من طول الضلع الثالث . أي أن :-

وهذا بديهي أي أن

الحالات الممكنة لاختيار النقطة C حتى تكون الثلاث المستقيمات مثلثا هي الحالات التي فيها x تحقق الشروط

والاحتمال المطلوب هو نسبة الطول الذي يحقق الشرط إلى الطول الكلى

مثال ( 36 )

اختيرت عشوائيا نقطتان على خط مستقيم . احسب احتمال أن تكون الثلاث أجزاء مثلثا .

الحل :-

نفرض مستقيم طوله واحد ونختار عليه نقطتان على بعد x,y كما هو مبين في الشكل

كما في المثال السابق حتى تكون الثلاث أجزاء مثلث فإن :

لكي تكون الثلاث أجزاء مثلثا يجب تحقيق الشروط الآتية :

والشكل الاتى يبين المنطقة في المستوى التي تحقق هذه الشروط .

فراغ العينة S يتكون من نقاط المربع

) OABC ) المثلث A يحقق الشروط السابقة

<![endif]-->

S 1c

الاحتمال المطلوب هو

تمارين

السؤال الأول :

فراغ عينه مكون من الأعداد واحد إلى عشرة . وكانت

أوجد عناصر الحوادث الآتية :

السؤال الثاني :

حدد عناصر الحوادث الآتية :

السؤال الثالث :

السؤال الرابع :

في التمرين السابق تم اختبار المصابيح حتى وجدت جميع المصابيح التالفة صف فراغ العينه .

السؤال الخامس :

( iii ) وزن السلعة الثانية ضعف السلعة الأولى

( iv ) وزن السعلة الأولى أقل 10 جرام من وزن السلعة الثانية

( v ) متوسط وزن السلعتين أقل من 30 جرام .

السؤال السادس :

تم اختبار 4 سلع وعرفنا الحوادث

A واحدة على الأقل من الأربع سلع تالفه

B الأربع سلع جيدة

C سلعتان تالفه

فسر الحوادث الآتية :

السؤال السابع :

( ii ) أوجد الفراغ الاحتمالي المرافق لفراغ العينه

( iii ) احسب احتمال الحصول على صورتان على الأكثر

( iv ) احسب احتمال الحصول على صورتان على الأقل .

السؤال الثامن :

زهرة نرد مثقله بحيث أن فرصة ظهور أي عدد تتناسب مع هذا العدد , ألقيت مرتان , أحسب احتمال الحصول على مجموع قدره

( i ) أربعة ( ii ) تسعة ( iii ) أربعة أو تسعه

السؤال التاسع :

ألقيت قطعة نقود خمس مرات . فما احتمال الحصول على الأقل على ثلاث صور متتالية

السؤال العاشر :

فاحسب قيمة الاحتمالات

السؤال الحادي عشر :

إذا كانت A,B حادثتين مانعتين وكانت 0.45 = (B)P و 0.3 = (A)P احسب الاحتمالات

السؤال الثاني عشر :

السؤال الثالث عشر :

اختيرت عشوائيا نقطتان A,B على الفترة ( 0.1 ) فما احتمال أن تكون A أقرب إلى 0 منها إلى B .

السؤال الرابع عشر :

اختيرت عشوائيا نقطتان x,y على المستقيم AB فما احتمال أن تكون المسافة من y إلى x على الأقل ضعف المسافة من A إلى x .

السؤال الخامس عشر :

صندوق به 5 كرات حمراء , 4 كرات صفراء , سحبت منه كرتان . احسب احتمال أن تكون الكرتان المسحوبتان ( أ ) حمراء ( ب ) من نفس اللون .

السؤال الخامس عشر :

آخر تحديث

4/23/2010 10:25:31 PM

MyKau	-800-11
69528	-800-11